Capítulo Vinte e Cinco: Han, o Gênio das Matemáticas, Surge (Peço que continuem acompanhando, por favor!)

Dentro do aposento, Xu Yun discursava com entusiasmo:

“Senhor Isaac, o Cavaleiro Han Li descobriu, ao calcular, que quando o expoente no Teorema Binomial é uma fração, pode-se usar e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ... para calcular.”

Enquanto falava, Xu Yun pegou uma caneta e escreveu no papel:

Quando n = 0, e^x > 1.

“Senhor Isaac, aqui começamos a partir de x^0, usando 0 como ponto inicial para facilitar a discussão. O senhor entende, não é?”

O Jovem Touro assentiu, indicando que compreendia.

Xu Yun então prosseguiu:

Suponha que, para n = k, a conclusão seja válida, ou seja, e^x > 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^k/k! (x > 0)

Logo, e^x - [1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^k/k!] > 0

Quando n = k + 1, definimos a função f(k+1) = e^x - [1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^(k+1)/(k+1)!] (x > 0)

Xu Yun então circulou f(k+1) e perguntou:

“Senhor Isaac, tem conhecimento sobre derivadas?”

O Jovem Touro tornou a assentir, respondendo de forma sucinta:

“Sim.”

Quem já estudou matemática sabe. Derivadas e integrais são os componentes mais essenciais do cálculo, sendo a derivada a base do cálculo diferencial e integral.

Já era o final de 1665, e o conhecimento do Jovem Touro sobre derivadas já alcançara certo grau de profundidade.

Na questão da derivada, o ponto de partida do Jovem Touro era a velocidade instantânea.

Velocidade = distância ÷ tempo, fórmula que até crianças conhecem, mas e quanto à velocidade instantânea?

Por exemplo, se a distância s = t^2, então, quando t = 2, qual é a velocidade instantânea v?

O pensamento matemático consiste em converter o que não se aprendeu em algo já conhecido.

Assim, Newton concebeu um método engenhoso:

Pega-se um intervalo de tempo “muito curto”, Δt, e calcula-se a velocidade média entre t = 2 e t = 2 + Δt.

v = Δs/Δt = (4Δt + Δt^2)/Δt = 4 + Δt.

À medida que Δt se torna cada vez menor, 2 + Δt se aproxima de 2, e o intervalo de tempo se estreita.

Quando Δt se aproxima de 0, a velocidade média se aproxima da velocidade instantânea.

Se Δt for efetivamente 0, a velocidade média 4 + Δt torna-se a velocidade instantânea 4.

Claro que, posteriormente, Berkeley apontou problemas lógicos nesse método, questionando se Δt era ou não igual a zero.

Se for zero, como se pode dividir por Δt na equação? Até crianças sabem que não se pode dividir por zero.

Se não for zero, 4 + Δt jamais será exatamente 4, e a velocidade média nunca se tornará velocidade instantânea.

Segundo o cálculo moderno, Berkeley questionava se lim Δt→0 equivale a Δt = 0.

A essência desse problema era desafiar o cálculo emergente, indagando se é adequado definir matemática precisa com termos vagos como “subdivisão infinita”.

As discussões provocadas por Berkeley culminaram na famosa Segunda Crise da Matemática.

Chegou-se ao ponto de alguns pessimistas declararem que a edificação dos números e da lógica estava prestes a ruir, que o nosso mundo era ilusório — e estes de fato pularam de prédios, restando até hoje retratos deles na Áustria, não se sabe se para veneração ou escárnio.

Foi apenas com o surgimento de Cauchy e Weierstrass que a questão ganhou explicação e definição, estabelecendo as bases de uma árvore que muitos estudantes viriam a temer.

Mas isso é história para depois; na época do Jovem Touro, o valor prático da matemática era prioridade, deixando a rigorosidade em segundo plano.

Muitos da época utilizavam as ferramentas matemáticas em suas pesquisas, otimizando-as conforme obtinham resultados.

Às vezes, algum azarado descobria, em meio aos cálculos, que todo o seu trabalho de vida estava equivocado.

Em resumo, naquele momento, o Jovem Touro dominava bem o conceito de derivada, embora ainda não o tivesse sistematizado.

Xu Yun continuou:

Derivando f(k+1), temos f(k+1)' = e^x - 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^k/k!

Pelo pressuposto, f(k+1)' > 0.

Quando x = 0,

f(k+1) = e^0 - 1 - 0/1! - 0/2! - ... - 0/(k+1)! = 1 - 1 = 0

Logo, quando x > 0,

Como a derivada é positiva, então f(x) > f(0) = 0

Portanto, para n = k + 1, f(k+1) = e^x - [1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^(k+1)/(k+1)!] (x > 0) está demonstrado!

Por fim, Xu Yun escreveu:

Assim, para qualquer n,

e^x > 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! (x > 0)

Encerrando a exposição, Xu Yun largou a caneta e olhou para o Jovem Touro.

Neste momento, o futuro patriarca da física arregalava os olhos, fixos na folha de rascunho à sua frente.

De fato, com o estágio atual de seus estudos, o Jovem Touro ainda não compreendia plenamente o real significado de tangente e área.

Mas quem conhece matemática sabe que o Teorema Binomial Generalizado é, na verdade, um caso especial da série de Taylor de funções de variável complexa.

Essa série é compatível com o Teorema Binomial, e os coeficientes também condizem com os símbolos combinatórios.

Assim, o Teorema Binomial pode ser estendido de expoentes naturais para complexos, assim como a definição combinatória.

Xu Yun, porém, guardou para si o detalhe de que, para expoentes negativos, trata-se de uma série infinita.

Afinal, historicamente, foi o próprio Jovem Touro quem introduziu o conceito de infinitesimais; seria justo que o processo de dedução coubesse a ele.

Após alguns minutos, o Jovem Touro finalmente recobrou os sentidos.

Ignorando Xu Yun ao seu lado, pulou para a cadeira e pôs-se a calcular febrilmente.

Xu Yun não se aborreceu ao ver o entusiasmo do Jovem Touro; afinal, aquele mestre sempre tivera esse temperamento, talvez mais ameno apenas diante de William Ayscough.

O som da caneta deslizando pelo papel logo encheu o aposento, fórmulas surgindo a toda velocidade.

Vendo isso, Xu Yun refletiu por um instante e saiu da casa.

Encontrou um canto junto à parede, ergueu os olhos e ficou a observar as nuvens dançando no céu.

Assim, duas horas passaram num piscar de olhos.

Enquanto Xu Yun planejava seu próximo passo, a porta da cabana se abriu subitamente e o Jovem Touro saiu disparado, excitado.

Seus olhos estavam vermelhos, oscilando o papel com força diante de Xu Yun:

“Peixe Gordo, negativos, deduzi os negativos! Tudo está claro agora!

Não importa se o expoente do binômio é positivo ou negativo, inteiro ou fracionário, o número combinatório vale para todos os casos!

Triângulo de Yang Hui, isso mesmo, o próximo passo é estudar o Triângulo de Yang Hui!”

Talvez de tanta empolgação, o Jovem Touro nem percebeu que sua peruca caíra ao chão.

Vendo aquele rosto radiante, Xu Yun também sentiu uma onda de entusiasmo por estar mudando a história.

No curso normal dos acontecimentos, o Jovem Touro só viria a ter esse insight em janeiro do ano seguinte, ao receber uma carta de John Twisleton, que mencionava justamente o triângulo tornado público por Pascal.

Ou seja...

O rumo da história da matemática acabava de ser alterado!

Com os frutos iniciais do desenvolvimento binomial, não demoraria para que o Jovem Touro, com auxílio do Triângulo de Yang Hui, construísse um modelo preliminar de cálculo de fluxos.

Assim sendo, o nome Triângulo de Yang Hui seria gravado para sempre na base do trono matemático, ocupando o lugar que sempre lhe pertenceu!

Mesmo que séculos passem e o mundo mude radicalmente, ninguém poderá abalar tal legado!

A luz dos antigos sábios da China jamais se apagará nesta linha do tempo!

Pensando nisso, Xu Yun respirou fundo e aproximou-se rapidamente:

“Parabéns, senhor Isaac.”

Olhando para o rosto oriental de Xu Yun, o Jovem Touro deixou transparecer uma expressão de admiração.

Aquele Cavaleiro Han Li, a quem nunca conhecera, apenas com algumas anotações já fora capaz de clarear sua mente, e, graças à mão de um discípulo desconhecido, abrira-lhe uma nova porta.

Qual seria o verdadeiro alcance do saber do próprio Cavaleiro Han Li?

Alguém capaz de conceber tal desenvolvimento pode ser chamado, sem dúvida, de um gênio das matemáticas!

Antes, pensava que o senhor Descartes era imbatível, mas agora via que havia quem fosse ainda mais audaz!

Sua jornada matemática estava apenas começando...

Nota:

Por que afinal o expoente saiu negativo...